Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2025

Sea $x\in \mathbb{R}$ y las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}x& -1& 2\\ 0& 1& 2\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& x\end{array}\right)$. Se pide:

a) Calcule los valores de $x\in \mathbb{R}$ para los cuales $B$ tiene inversa. [1 punto]

b) Para $x=0$, calcule, en caso de que sea posible, $B^{-1}$. [1 punto]

c) Calcule los valores de $x$ para los cuales $\det (AB)=\det (A)$. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{reales}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no es nulo, así que se calcula $\det (B)$ desarrollando por la primera fila:

$\det (B)=\mid \begin{array}{ccc}-1& -1& -2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& x\end{array}\mid =-1(x-1)+1(x-2)-2(1-2)$

$\det (B)=-x+1+x-2+2=1$

El resultado no depende de $x$: el determinante vale siempre 1. Por tanto $B$ tiene inversa para todo $x\in \mathbb{R}$, sin ninguna excepción.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0,}}\mathbf{\text{calcule,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{B.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Con $x=0$:

$B=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\det (B)=1$

Se usa la fórmula $B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\det (B)}}(\text{Adj}(B){)}^t$. Los nueve adjuntos son

$A_{11}=-1,A_{12}=2,A_{13}=-1$

$A_{21}=-2,A_{22}=4,A_{23}=-1$

$A_{31}=1,A_{32}=-1,A_{33}=0$

y al trasponer la matriz adjunta y dividir por el determinante (que vale 1):

$B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 1\\ 2& 4& -1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)$

Comprobación, imprescindible en este tipo de cálculo:

$B{B}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& -2\\ 1& 1& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 1\\ 2& 4& -1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{det(AB)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{det(A).}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El determinante de un producto es el producto de los determinantes:

$\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)=\det (A)\cdot 1=\det (A)$

La igualdad se cumple, por tanto, para todos los valores de $x\in \mathbb{R}$, y no porque $\det (A)$ valga algo en concreto, sino porque $\det (B)=1$ siempre, como se vio en el apartado a).

Si se quiere, puede calcularse $\det (A)=3x+4$ y comprobar el resultado multiplicando las matrices, pero no hace falta: la propiedad del determinante del producto lo resuelve de un renglón.