Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2020

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ m& 0& 1\end{array}\right)$, con $m\in \mathbb{R}$, halle $A^{-1}$ y $A^{10}$. [2 puntos]

La matriz es triangular inferior con unos en la diagonal, de modo que su determinante es el producto de la diagonal:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot 1\cdot 1=1\mathrm{\ne }0$

y la inversa existe cualquiera que sea $m$.

$\mathbf{\text{Inversa.}}$

Conviene escribir $A=I+N$, separando la parte que no es la identidad:

$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ m& 0& 0\end{array}\right),N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Como $N^2$ es la matriz nula, el producto $(I+N)(I-N)=I-N^2=I$, de donde

$A^{-1}=I-N=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -m& 0& 1\end{array}\right)$

Se comprueba multiplicando:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ m& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -m& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{Potencia}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cima.}}$

Se calculan las primeras potencias para reconocer la ley de formación:

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 2m& 0& 1\end{array}\right),A^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 3m& 0& 1\end{array}\right)$

Cada vez que se multiplica por $A$ el elemento de la esquina aumenta en $m$, de modo que

$A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ nm& 0& 1\end{array}\right)$

Formalmente es consecuencia de que $N^2=0$: al desarrollar $(I+N{)}^n$ por el binomio de Newton, todos los términos con $N^2$ o potencias mayores se anulan y queda $A^n=I+nN$.

$A^{10}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 10m& 0& 1\end{array}\right)$