Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{4(x+1)}{(4+x^2{)}^2}},& \text{si }x<0,\\ {\displaystyle \frac{e^x}{(1+e^x{)}^2}}+{\displaystyle \frac{x}{4}},& \text{si }x\ge 0.\end{array}$

a) Estudiar las asíntotas de $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Calcular ${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx}$. [1 punto]

Antes de nada conviene ver que la función está definida en todo $\mathbb{R}$: los dos denominadores, $(4+x^2{)}^2$ y $(1+e^x{)}^2$, son estrictamente positivos. Además es continua en el punto de empalme, porque los dos trozos coinciden allí:

${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{4(x+1)}{(4+x^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{4}{16}}={\displaystyle \frac{1}{4}}f(0)={\displaystyle \frac{1}{(1+1{)}^2}}+0={\displaystyle \frac{1}{4}}$

No hay, por tanto, ninguna asíntota vertical. Solo queda estudiar las ramas infinitas, y en cada una manda un trozo distinto.

Cuando $x\to -\mathrm{\infty }$ actúa el primer trozo, un cociente en el que el denominador es de grado $4$ y el numerador de grado $1$:

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{4(x+1)}{(4+x^2{)}^2}}=0$

luego $y=0$ es asíntota horizontal por la izquierda.

Cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ actúa el segundo trozo. El sumando ${\displaystyle \frac{x}{4}}$ tiende a infinito, así que no puede haber asíntota horizontal; buscamos una oblicua $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{e^x}{x{(1+e^x)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}})=0+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

El primer sumando se anula porque, al desarrollar el cuadrado del denominador, ${\displaystyle \frac{e^x}{(1+e^x{)}^2}}\approx {\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}}}=e^{-x}\to 0$.

$n={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}(f(x)-{\displaystyle \frac{x}{4}})={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^x}{{(1+e^x)}^2}}=0$

La función tiene, pues, una asíntota horizontal $y=0$ cuando $x\to -\mathrm{\infty }$ y una asíntota oblicua $y={\displaystyle \frac{x}{4}}$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$. No hay asíntotas verticales.



Todo el intervalo de integración está en $x\ge 0$, de modo que solo interviene el segundo trozo, y lo separamos en dos integrales inmediatas.

${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1{\displaystyle \frac{e^x}{{(1+e^x)}^2}}dx+{\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{4}}dx$

La primera se resuelve con el cambio $t=1+e^x$, cuya diferencial es justamente el numerador:

$\{\begin{array}{l}t=1+e^x\\ dt=e^{x}dx\end{array}\Rightarrow \int {\displaystyle \frac{dt}{t^2}}=-{\displaystyle \frac{1}{t}}=-{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}$

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{e^x}{{(1+e^x)}^2}}dx={[-{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}]}_0^1=-{\displaystyle \frac{1}{1+e}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{4}}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^2}{8}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{8}}$

Sumando ambas:

${\int }_0^{1}f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{1+e}}={\displaystyle \frac{5}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{1+e}}\approx \mathrm{0,356}$

El valor de la integral es ${\displaystyle \frac{5}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{1+e}}\approx \mathrm{0,356}$.