Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Dada la función $f(x)=e^x{x}^{-1}$, determinar su dominio de definición, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. [2 puntos]

La función es el cociente $f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x}}$, de modo que el único punto problemático es el que anula el denominador.

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$

Asíntota vertical. En $x=0$ el numerador vale $1$ y el denominador se anula, así que los límites laterales son infinitos y de distinto signo:

${\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}={\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}={\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

luego $x=0$ es asíntota vertical.

Asíntotas horizontales. En el infinito las dos ramas se comportan de manera distinta:

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}={\displaystyle \frac{0}{-\mathrm{\infty }}}=0{\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}=+\mathrm{\infty }$

de modo que $y=0$ es asíntota horizontal solo por la izquierda.

Monotonía. Derivamos con la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{e^{x}x-e^x}{x^2}}={\displaystyle \frac{e^x(x-1)}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$

Como $e^x>0$ y $x^2>0$, el signo de la derivada es el de $x-1$. Hay que tener en cuenta, además, que $x=0$ no está en el dominio y separa dos ramas.

La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y en $(0,1)$, y crece en $(1,+\mathrm{\infty })$. En $x=1$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo:

$f(1)={\displaystyle \frac{e^1}{1}}=e\approx \mathrm{2,718}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo }(1,e)$

En la rama de la izquierda no hay extremos: la función baja desde $0$ hasta $-\mathrm{\infty }$ sin cambiar de sentido. Con todo lo anterior, la gráfica es