Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x^2-3x+2}}$, hallar su dominio de definición y determinar sus asíntotas horizontales y verticales. [1 punto]

b) Calcular ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^2-3x+2}}dx}$. [1 punto]

El dominio lo limitan dos cosas: el logaritmo, que exige argumento positivo, y el denominador, que no puede anularse.

$x^2-3x+2=0\Rightarrow (x-1)(x-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

$\mathrm{Dom}f=(0,+\mathrm{\infty })\setminus \{1,2\}$

Asíntotas verticales. Los candidatos son los tres puntos que quedan fuera del dominio, y hay que estudiarlos uno a uno.

En $x=0$, el logaritmo tiende a $-\mathrm{\infty }$ y el denominador a $2$:

${\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2-3x+2}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{\infty }}{2}}=-\mathrm{\infty }$

luego $x=0$ es asíntota vertical.

En $x=1$ se anulan a la vez el numerador y el denominador, así que hay que resolver la indeterminación con la regla de L'Hôpital:



El límite es finito, de modo que $x=1$ no es asíntota vertical: es una discontinuidad evitable.

En $x=2$ el numerador vale $\ln 2\mathrm{\ne }0$ y el denominador se anula cambiando de signo:

${\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{\ln x}{(x-1)(x-2)}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }{\lim }_{x\to 2^{+}}={\displaystyle \frac{\ln 2}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

luego $x=2$ sí es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. En el infinito el denominador, de grado dos, crece mucho más deprisa que el logaritmo:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\ln x}{x^2-3x+2}}=0$

de modo que $y=0$ es asíntota horizontal por la derecha. Por la izquierda no hay rama, porque el dominio empieza en $0$.



El denominador se factoriza en raíces reales simples, así que descomponemos el integrando en fracciones simples.

${\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-2)}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{x-2}}\Rightarrow 1=A(x-2)+B(x-1)$

Damos a $x$ los valores de las raíces:

$x=1:1=-A\Rightarrow A=-1x=2:1=B\Rightarrow B=1$

$\int {\displaystyle \frac{dx}{x^2-3x+2}}=-\int {\displaystyle \frac{dx}{x-1}}+\int {\displaystyle \frac{dx}{x-2}}=-\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+C$

$\int {\displaystyle \frac{dx}{x^2-3x+2}}=\ln \mid {\displaystyle \frac{x-2}{x-1}}\mid +C$