Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Se considera la función $f(x)=2x{e}^{-2x^2}$.

a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. [1,5 puntos]

b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es producto de un polinomio y una exponencial, ambos definidos en todo $\mathbb{R}$, y no hay denominadores ni radicales.

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$

Derivamos con la regla del producto y sacamos factor común la exponencial, que no se anula nunca:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{-2x^2}+2x\cdot (-4x)e^{-2x^2}=2e^{-2x^2}(1-4x^2)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1-4x^2=0\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$

El signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el del factor $1-4x^2$, que es una parábola con las ramas hacia abajo: positiva entre las raíces y negativa fuera.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-{\displaystyle \frac{1}{2}})$, crece en $(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$ y vuelve a decrecer en $({\displaystyle \frac{1}{2}},+\mathrm{\infty })$.

Hay, por tanto, un mínimo relativo donde pasa de decrecer a crecer y un máximo relativo donde pasa de crecer a decrecer:

$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-e^{-1\mathrm{/}2}=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}\approx -\mathrm{0,607}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo }(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}})$

$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=e^{-1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}\approx \mathrm{0,607}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo }({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}})$

Al ser el dominio todo $\mathbb{R}$ y la función continua, no hay asíntotas verticales. En el infinito la exponencial decreciente domina al factor lineal:

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x}{e^{2x^2}}}=0$

luego $y=0$ es asíntota horizontal en las dos ramas y no hay asíntotas oblicuas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{limitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

En $[0,2]$ se cumple $x\ge 0$ y la exponencial es positiva, de modo que $f(x)\ge 0$: el recinto queda entero por encima del eje y el área es la integral definida, sin partirla.



Resolvemos con el cambio de variable que sugiere el exponente:

$\{\begin{array}{l}t=-2x^2\\ dt=-4xdx\Rightarrow 2xdx=-{\displaystyle \frac{dt}{2}}\end{array}$

$\int 2x{e}^{-2x^2}dx=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\int e^{t}dt=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x^2}$

$\mathcal{A}={\int }_0^{2}2x{e}^{-2x^2}dx={[-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x^2}]}_0^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-8}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1-e^{-8}}{2}}\approx \mathrm{0,4998}$

El área de la región es ${\displaystyle \frac{1-e^{-8}}{2}}\approx \mathrm{0,4998}$ unidades de área, prácticamente ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, porque la cola de la curva a partir de $x=\mathrm{1,5}$ ya no aporta casi nada.