Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2025

Se considera la función $f(x)=x^2{e}^{-x}$.

a) Determinar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. [1,5 puntos]

b) Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y el eje de abscisas en el intervalo $[0,2]$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determinar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento,}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La función es producto de un polinomio y una exponencial, definidos ambos en todo $\mathbb{R}$.

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$

Derivamos y sacamos factor común la exponencial, que es siempre positiva:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}=x{e}^{-x}(2-x)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x(2-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

El signo de la derivada es el del producto $x(2-x)$, una parábola con las ramas hacia abajo: negativa fuera de las raíces y positiva entre ellas.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },0)$, crece en $(0,2)$ y vuelve a decrecer en $(2,+\mathrm{\infty })$; hay un mínimo relativo en el primer punto crítico y un máximo relativo en el segundo.

$f(0)=0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo }(0,0)$

$f(2)=4e^{-2}={\displaystyle \frac{4}{e^2}}\approx \mathrm{0,541}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo }(2,{\displaystyle \frac{4}{e^2}})$

No hay asíntotas verticales, porque el dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua. En el infinito las dos ramas se comportan de forma muy distinta:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2}{e^x}}=0$

porque la exponencial crece más deprisa que cualquier potencia, de modo que $y=0$ es asíntota horizontal por la derecha.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{x}^2{e}^{-x}=(+\mathrm{\infty })\cdot (+\mathrm{\infty })=+\mathrm{\infty }$

Por la izquierda no hay asíntota horizontal, y tampoco oblicua, ya que la pendiente no es finita:

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2{e}^{-x}}{x}}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}=-\mathrm{\infty }$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{limitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{f}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{abscisas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Como $f(x)=x^2{e}^{-x}\ge 0$ para todo $x$, el recinto está entero por encima del eje y el área coincide con la integral definida.



Calculamos una primitiva integrando por partes dos veces, bajando en cada paso el grado del polinomio.

$\{\begin{array}{ll}u=x^2& du=2xdx\\ dv=e^{-x}dx& v=-e^{-x}\end{array}$

$\int x^2{e}^{-x}dx=-x^2{e}^{-x}+2\int x{e}^{-x}dx$

$\int x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}+\int e^{-x}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}$

$\int x^2{e}^{-x}dx=-e^{-x}(x^2+2x+2)$

Aplicando la regla de Barrow:

$\mathcal{A}={[-e^{-x}(x^2+2x+2)]}_0^2=-e^{-2}(4+4+2)+2$

$\mathcal{A}=2-{\displaystyle \frac{10}{e^2}}\approx \mathrm{0,647}$

El área de la región es $2-{\displaystyle \frac{10}{e^2}}\approx \mathrm{0,647}$ unidades de área.