Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

El tiempo empleado, en minutos, para obtener la respuesta de un test para detectar cierta enfermedad sigue una distribución normal de media 20 y de desviación típica 4.

a) ¿En qué porcentaje de test se obtiene el resultado entre 16 y 26 minutos? [1 punto]

b) ¿Cuántos minutos son necesarios para garantizar que se ha obtenido la respuesta del $\mathrm{96,41}$ % de los test? [1 punto]

Llamamos $X$ al tiempo, en minutos, que tarda en obtenerse la respuesta de un test. Según el enunciado

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(20;4)$

y para consultar la tabla usaremos la variable tipificada $Z={\displaystyle \frac{X-20}{4}}\sim N(0,1)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{test}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{16}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{26}}\mathbf{\text{minutos?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo:

$P(16<X<26)=P({\displaystyle \frac{16-20}{4}}<Z<{\displaystyle \frac{26-20}{4}})=P(-1<Z<\mathrm{1,5})$

$P(-1<Z<\mathrm{1,5})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,5})-\mathrm{\Phi }(-1)$

El valor negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\mathrm{\Phi }(-1)=1-\mathrm{\Phi }(1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$

$P(16<X<26)=\mathrm{0,9332}-\mathrm{0,1587}=\mathrm{0,7745}$



En el $\mathrm{77,45}\mathrm{\%}$ de los test el resultado se obtiene entre 16 y 26 minutos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{necesarios}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{garantizar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{del}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">96,41</mn>}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{test?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora el dato es la probabilidad y la incógnita, el tiempo: hay que recorrer la tabla al revés. Llamamos $k$ al tiempo buscado.

$P(X<k)=\mathrm{0,9641}\Rightarrow P(Z<{\displaystyle \frac{k-20}{4}})=\mathrm{0,9641}$

Buscamos en el interior de la tabla el valor $\mathrm{0,9641}$ y leemos el valor tipificado que le corresponde:

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,80})=\mathrm{0,9641}\Rightarrow {\displaystyle \frac{k-20}{4}}=\mathrm{1,80}$

$k=20+\mathrm{1,80}\cdot 4=20+\mathrm{7,2}=\mathrm{27,2}$



Hacen falta $\mathrm{27,2}$ minutos para garantizar que se ha obtenido la respuesta del $\mathrm{96,41}\mathrm{\%}$ de los test.