Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

En una prueba de diagnóstico médico se hace la medición de cierto índice que sigue una distribución normal. Los índices tipificados de dos individuos fueron $\mathrm{0,6}$ y $-\mathrm{0,8}$, y sus índices reales, 109 y 88, respectivamente. Calcule:

a) La media y la desviación típica del índice analizado. [1 punto]

b) Entre qué valores simétricos respecto a la media está el índice del 80 % de los individuos de dicho estudio. [1 punto]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ al índice medido, que según el enunciado sigue una distribución normal:

$X\sim N(\mu ,\sigma )$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{del}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{analizado.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tipificar un valor es restarle la media y dividir por la desviación típica, así que cada individuo da una ecuación.

$z={\displaystyle \frac{x-\mu }{\sigma }}\Rightarrow x=\mu +z\sigma$

$\{\begin{array}{l}109=\mu +\mathrm{0,6}\sigma \\ 88=\mu -\mathrm{0,8}\sigma \end{array}$

Restando la segunda ecuación de la primera desaparece la media:

$109-88=\mathrm{1,4}\sigma \Rightarrow 21=\mathrm{1,4}\sigma \Rightarrow \sigma =15$

$\mu =109-\mathrm{0,6}\cdot 15=109-9=100$



La media del índice es 100 y su desviación típica 15.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Entre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tricos}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{80}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{estudio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se busca el intervalo centrado en la media que deja dentro el 80 % del área. Fuera queda el 20 %, repartido en dos colas iguales del 10 % cada una, de modo que a la izquierda del extremo derecho se acumula el 90 %.

$P(-k<Z<k)=\mathrm{0,80}\Rightarrow P(Z\le k)=\mathrm{0,80}+\mathrm{0,10}=\mathrm{0,90}$

$k=\mathrm{1,28}$

Se deshace la tipificación en los dos extremos:

$x=\mu \pm k\sigma =100\pm \mathrm{1,28}\cdot 15=100\pm \mathrm{19,2}$



El índice del 80 % de los individuos está entre $\mathrm{80,8}$ y $\mathrm{119,2}$.