Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

La edad media de un jugador de la NBA sigue una distribución normal de media 26 años y desviación típica 5 años. Si se elige un jugador al azar, halle: [2 puntos]

i) La probabilidad de que su edad sea superior o igual a 31 años.

ii) La probabilidad de que su edad esté entre 21 y 31 años.

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la edad, en años, de un jugador de la NBA. Según el enunciado

$X\sim N(26,5)$

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{31}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}$

Se tipifica el valor 31 restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$P(X\ge 31)=P(Z\ge {\displaystyle \frac{31-26}{5}})=P(Z\ge 1)$

La tabla da probabilidades acumuladas, así que se pasa al suceso contrario:

$P(Z\ge 1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$



La probabilidad de que un jugador tenga 31 años o más es $\mathrm{0,1587}$, algo menos del 16 %.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{edad}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{21}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{31}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}$

Se tipifican los dos extremos, que resultan ser simétricos respecto de la media:

$P(21\le X\le 31)=P({\displaystyle \frac{21-26}{5}}\le Z\le {\displaystyle \frac{31-26}{5}})=P(-1\le Z\le 1)$

La probabilidad de un intervalo es la diferencia de las acumuladas en sus extremos, y la acumulada en $-1$ se obtiene por simetría de la campana:

$P(Z\le -1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$

$P(-1\le Z\le 1)=\mathrm{0,8413}-\mathrm{0,1587}=\mathrm{0,6826}$



La probabilidad de que la edad esté entre 21 y 31 años es $\mathrm{0,6826}$: algo más de dos tercios de los jugadores se encuentran a menos de una desviación típica de la media.