Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

La presión arterial sistólica de una muestra de adolescentes sigue una distribución normal de media 120 y desviación típica 12. Si se elige un adolescente al azar, halle: [2 puntos]

i) La probabilidad de que su presión arterial sea superior a 132.

ii) La probabilidad de que su presión arterial esté entre 96 y 144.

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Se llama $X$ a la presión arterial sistólica de un adolescente. Según el enunciado

$X\sim N(120,12)$

$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{presi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{arterial}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{132.}}$

Se tipifica el valor 132 restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$P(X>132)=P(Z>{\displaystyle \frac{132-120}{12}})=P(Z>1)$

Como la tabla da probabilidades acumuladas, se pasa al suceso contrario:

$P(Z>1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$



La probabilidad de que la presión arterial supere 132 es $\mathrm{0,1587}$.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{presi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{arterial}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{96}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{144.}}$

Los dos extremos son simétricos respecto de la media y distan de ella dos desviaciones típicas:

$P(96\le X\le 144)=P({\displaystyle \frac{96-120}{12}}\le Z\le {\displaystyle \frac{144-120}{12}})=P(-2\le Z\le 2)$

La probabilidad del intervalo es la diferencia de las acumuladas en sus extremos, y la acumulada en $-2$ se obtiene por simetría de la campana:

$P(Z\le -2)=1-P(Z\le 2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$

$P(-2\le Z\le 2)=\mathrm{0,9772}-\mathrm{0,0228}=\mathrm{0,9544}$



La probabilidad de que la presión arterial esté entre 96 y 144 es $\mathrm{0,9544}$: más del 95 % de los adolescentes de la muestra.