Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

Se sabe que dos poblaciones distintas $X$ e $Y$ se distribuyen según una normal de media 25. Además, $P(X\ge 27)=P(Y\ge 30)=\mathrm{0,1587}$. Calcule sus respectivas varianzas. [2 puntos]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

Las dos poblaciones comparten la media pero tienen desviaciones típicas distintas, que son las incógnitas del problema:

$X\sim N(25,{\sigma }_X),Y\sim N(25,{\sigma }_Y)$

Las dos probabilidades son iguales, y de ese valor sale una única abscisa tipificada. Como la tabla da probabilidades acumuladas, se pasa al suceso contrario:

$P(Z\ge z_0)=\mathrm{0,1587}\Rightarrow P(Z\le z_0)=1-\mathrm{0,1587}=\mathrm{0,8413}$

En la tabla ese valor corresponde exactamente a

$z_0=1$



Que la probabilidad tipificada sea la misma significa que 27 está a una desviación típica de la media en la primera población y 30 lo está en la segunda. Se deshace la tipificación en cada caso:

${\displaystyle \frac{27-25}{{\sigma }_X}}=1\Rightarrow {\sigma }_X=2$

${\displaystyle \frac{30-25}{{\sigma }_Y}}=1\Rightarrow {\sigma }_Y=5$

La varianza es el cuadrado de la desviación típica:

${\sigma }_X^2=4,{\sigma }_Y^2=25$

Las varianzas pedidas son $4$ y $25$: la segunda población está mucho más dispersa que la primera.