Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

El tiempo que una persona tarda en llegar a su lugar de trabajo sigue una distribución normal de media 20 minutos. Se ha comprobado que el 84,1 % de los días llega antes de 22 minutos. Si durante el año acude a su lugar de trabajo 290 días, ¿cuántos días puede estimar que tardará menos de 18 minutos en llegar? [2 puntos]

Utilice la tabla de la distribución normal tipificada.

$\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{llegar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{lugar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{minutos.}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{comprobado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{84,1}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{22}}\mathbf{\text{minutos.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{acude}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{lugar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{290}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tardar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{18}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{llegar?}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $X$ al tiempo de trayecto, en minutos. Se conoce la media pero no la desviación típica, que es lo primero que hay que averiguar:

$X\sim N(20,\sigma )$

El dato del enunciado se traduce en una probabilidad acumulada, y de ella se saca la abscisa tipificada buscando en la tabla:

$P(X<22)=\mathrm{0,841}\Rightarrow P(Z<{\displaystyle \frac{22-20}{\sigma }})=\mathrm{0,841}$

En la tabla, el valor 0,8413 corresponde a $z=1$, de modo que

${\displaystyle \frac{2}{\sigma }}=1\Rightarrow \sigma =2$

$X\sim N(20,2)$

Ahora se calcula la probabilidad pedida tipificando el valor 18, que queda a una desviación típica por debajo de la media:

$P(X<18)=P(Z<{\displaystyle \frac{18-20}{2}})=P(Z<-1)$

Por la simetría de la campana:

$P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$



Finalmente se traduce la proporción a número de días, multiplicando por los 290 días que acude al trabajo:

$290\cdot \mathrm{0,1587}=\mathrm{46,02}$

Se puede estimar que tardará menos de 18 minutos en llegar unos 46 días al año.