Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}$, encontrar sus extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

b) Dada la función $f(x)=x^2-2x$, estudiar el signo de la función en el intervalo $[1,3]$ y encontrar el área del recinto comprendido entre su gráfica, el eje OX y las rectas $x=1$ y $x=3$. [1 punto]

El logaritmo exige argumento positivo y el denominador no puede anularse, así que

$\mathrm{Dom}f=(0,+\mathrm{\infty })$

Derivamos con la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}\cdot x-\ln x}{x^2}}={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 1-\ln x=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, así que el signo de la derivada es el de $1-\ln x$: positivo mientras $\ln x<1$, es decir, para $x<e$, y negativo después.



La función crece en $(0,e)$ y decrece en $(e,+\mathrm{\infty })$. En $x=e$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo:

$f(e)={\displaystyle \frac{\ln e}{e}}={\displaystyle \frac{1}{e}}\approx \mathrm{0,368}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo }(e,{\displaystyle \frac{1}{e}})$

No hay mínimos relativos, porque $x=e$ es el único punto crítico del dominio.



Factorizamos para localizar los ceros, que son donde puede cambiar el signo:

$f(x)=x(x-2)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$

Dentro de $[1,3]$ solo cae el cero $x=2$, que parte el intervalo en dos tramos:

$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-{\displaystyle \frac{3}{4}}<0f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{5}{4}}>0$

La función es negativa en $(1,2)$ y positiva en $(2,3)$, de modo que hay que partir la integral en $x=2$ y sumar los valores absolutos.



$F(x)=\int (x^2-2x)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-x^2$

$F(1)={\displaystyle \frac{1}{3}}-1=-{\displaystyle \frac{2}{3}}F(2)={\displaystyle \frac{8}{3}}-4=-{\displaystyle \frac{4}{3}}F(3)=9-9=0$

${\int }_1^{2}f(x)dx=-{\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}{\int }_2^{3}f(x)dx=0+{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$

$\mathcal{A}=\mid -{\displaystyle \frac{2}{3}}\mid +\mid {\displaystyle \frac{4}{3}}\mid ={\displaystyle \frac{6}{3}}=2$

El área del recinto es de $2$ unidades de área.