Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Halle el área del recinto encerrado por las gráficas de las parábolas $y=x^2-2x+1$ e $y=-2x^2+2x$. [2 puntos]

Lo primero es localizar los puntos de corte de las dos curvas, que son los límites de integración.

$x^2-2x+1=-2x^2+2x$

$3x^2-4x+1=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{6}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{6}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{3}},x=1$

Entre esos dos valores hay que saber cuál de las dos parábolas queda por encima. Se prueba con un punto intermedio, por ejemplo $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$:

$x^2-2x+1={\displaystyle \frac{1}{4}}-1+1={\displaystyle \frac{1}{4}},-2x^2+2x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1={\displaystyle \frac{1}{2}}$

de modo que la parábola $y=-2x^2+2x$, la que se abre hacia abajo, es la de arriba.



El área es la integral de la diferencia entre la de arriba y la de abajo:

$A={\int }_{1\mathrm{/}3}^1[(-2x^2+2x)-(x^2-2x+1)]dx={\int }_{1\mathrm{/}3}^1(-3x^2+4x-1)dx$

$={[-x^3+2x^2-x]}_{1\mathrm{/}3}^1$

$=(-1+2-1)-(-{\displaystyle \frac{1}{27}}+{\displaystyle \frac{2}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{3}})=0-(-{\displaystyle \frac{4}{27}})={\displaystyle \frac{4}{27}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{4}{27}}\approx \mathrm{0,1481}$ unidades cuadradas.