Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Calcule el área del recinto limitado por la función $f(x)={\displaystyle \frac{x+3}{(x+2{)}^2}}$, el eje $OX$ y las rectas $x=0$ y $x=5$. [2 puntos]

Lo primero es comprobar que la función no cambia de signo dentro del intervalo, porque de eso depende que el área sea la integral sin más. En $[0,5]$ el numerador $x+3$ es positivo y el denominador es un cuadrado, también positivo:

$f(x)>0\text{para todo }x\in [0,5]$

de modo que el recinto queda por encima del eje de abscisas.



$A={\int }_0^5{\displaystyle \frac{x+3}{(x+2{)}^2}}dx$

Para la primitiva conviene el cambio $u=x+2$, con el que el numerador se escribe $x+3=u+1$:

$\{\begin{array}{l}u=x+2\\ du=dx\end{array}$

$\int {\displaystyle \frac{u+1}{u^2}}du=\int ({\displaystyle \frac{1}{u}}+{\displaystyle \frac{1}{u^2}})du=\ln \mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{1}{u}}+C$

Deshaciendo el cambio:

$\int {\displaystyle \frac{x+3}{(x+2{)}^2}}dx=\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{1}{x+2}}+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$A={[\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }-{\displaystyle \frac{1}{x+2}}]}_0^5=(\ln 7-{\displaystyle \frac{1}{7}})-(\ln 2-{\displaystyle \frac{1}{2}})$

$A=\ln {\displaystyle \frac{7}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=\ln {\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{14}}$

El área del recinto es $\ln {\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{14}}\approx \mathrm{1,6099}$ unidades cuadradas.