Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Considere la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2+2x+2}}$. Calcule una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$. [2,5 puntos]

El denominador es un polinomio de segundo grado sin raíces reales, ya que su discriminante es $4-8=-4<0$. En ese caso la integral se reduce a un arco tangente completando cuadrados.

$x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1{)}^2+1$

$\int {\displaystyle \frac{dx}{x^2+2x+2}}=\int {\displaystyle \frac{dx}{(x+1{)}^2+1}}$

Hacemos el cambio $u=x+1$, de donde $du=dx$, y aparece la integral inmediata del arco tangente.

$\int {\displaystyle \frac{du}{u^2+1}}=\mathrm{arctg}(u)+C$

Deshaciendo el cambio, la familia de primitivas es

$F(x)=\mathrm{arctg}(x+1)+C$

Imponemos ahora que la gráfica pase por el punto $(0,{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$.

$F(0)=\mathrm{arctg}(1)+C={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+C={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\Rightarrow C=0$

La primitiva pedida es $F(x)=\mathrm{arctg}(x+1)$.