Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Halle la función $f:(0,+\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2,e-2-2\ln (2))$ y $(1,0)$, y verifica que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^{x-1}-{\displaystyle \frac{1}{x}}$. [2,5 puntos]

Se conoce la derivada segunda, así que hay que integrar dos veces y usar los dos puntos para fijar las dos constantes que aparecen.

Primera integración:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\int (e^{x-1}-{\displaystyle \frac{1}{x}})dx=e^{x-1}-\ln x+C$

Segunda integración. La integral de $\ln x$ se hace por partes, con $u=\ln x$ y $dv=dx$:

$\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=x\ln x-x$

$f(x)=\int (e^{x-1}-\ln x+C)dx=e^{x-1}-(x\ln x-x)+Cx+D$

$f(x)=e^{x-1}-x\ln x+x+Cx+D$

Imponemos que la gráfica pase por $(1,0)$, teniendo en cuenta que $\ln 1=0$:

$f(1)=e^0-0+1+C+D=0\Rightarrow 2+C+D=0\Rightarrow C+D=-2$

Y que pase por $(2,e-2-2\ln 2)$:

$f(2)=e^1-2\ln 2+2+2C+D=e-2-2\ln 2$

$2+2C+D=-2\Rightarrow 2C+D=-4$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$(2C+D)-(C+D)=-4-(-2)\Rightarrow C=-2\Rightarrow D=-2-C=0$

Sustituimos y simplificamos:

$f(x)=e^{x-1}-x\ln x+x-2x=e^{x-1}-x\ln x-x$

Comprobamos los dos puntos: $f(1)=1-0-1=0$ y $f(2)=e-2\ln 2-2$.

La función buscada es $f(x)=e^{x-1}-x\ln x-x$.