Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

a) Se considera la función $f(x)=4\mathrm{sen}(x-\pi )$. Calcule el área acotada encerrada por $f$ y las rectas $y=0$, $x=0$ y $x=\pi$. [1,5 puntos]

b) Se considera una función $g(x)$ continua. Sabiendo que una primitiva de $g$ es $f(x)=\mathrm{sen}(x)\cos (x)$, calcule una expresión de $g$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{considera}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f(x)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{sen(x}}\mathbf{\text{-}}\mathbf{\text{π).}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{acotada}}\mathbf{\text{encerrada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0,}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{0}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{π.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Conviene simplificar primero la función. Por la fórmula del seno de una diferencia, o sin más que recordar que desplazar el seno media vuelta lo cambia de signo:

$f(x)=4\mathrm{sen}(x-\pi )=-4\mathrm{sen}(x)$

En $(0,\pi )$ el seno es positivo, así que $f$ es negativa: la gráfica va por debajo del eje.





El área es, por tanto, la integral cambiada de signo:

$\acute{\text{A}}\text{rea}=-{\int }_0^{\pi }(-4\mathrm{sen}x)dx=4{\int }_0^{\pi }\mathrm{sen}xdx$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=4[-\cos x{]}_0^{\pi }=4(-\cos \pi +\cos 0)=4(1+1)$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=8{\text{u}}^2$

El recinto mide $8$ unidades cuadradas. Si se hubiera integrado sin más, el resultado habría salido $-8$, y ese signo es justamente el que avisa de que la curva queda bajo el eje.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{considera}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{g(x)}}\mathbf{\text{continua.}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{primitiva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{g}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{f(x)}}\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{sen(x)}}\mathbf{\text{cos(x),}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{g.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Que $f$ sea una primitiva de $g$ significa $f^{\mathrm{\prime }}=g$, de modo que basta derivar, aquí con la regla del producto:

$g(x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos (x)\cos (x)+\mathrm{sen}(x)(-\mathrm{sen}(x))$

$g(x)={\cos }^2(x)-{\mathrm{sen}}^2(x)=\cos (2x)$

La expresión más compacta es $g(x)=\cos (2x)$. Se llega a lo mismo simplificando antes de derivar: $f(x)=\mathrm{sen}x\cos x=\frac{1}{2}\mathrm{sen}(2x)$, cuya derivada es $\frac{1}{2}\cdot 2\cos (2x)=\cos (2x)$.