Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Dadas las funciones $f(x)={\displaystyle \frac{x-1}{2x+1}}$, $g(x)=x^2$ y $h(x)=x^3$:

a) Calcule todas las primitivas de la función $f(x)$. ¿Cuál de todas ellas pasa por el origen de coordenadas? [1,5 puntos]

b) Calcule el área encerrada entre las gráficas de $g(x)$ y $h(x)$ entre sus puntos de corte. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{primitivas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f(x).}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El integrando es un cociente de polinomios del mismo grado, así que primero hay que hacer la división —o, lo que es lo mismo, arreglar el numerador para que aparezca el denominador—:

$\frac{x-1}{2x+1}=\frac{\frac{1}{2}(2x+1)-\frac{3}{2}}{2x+1}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2x+1}$

Ahora las dos integrales son inmediatas; en la segunda se multiplica y divide por 2 para reconstruir la derivada del denominador:

$\int f(x)dx=\int \frac{1}{2}dx-\frac{3}{2}\int \frac{1}{2x+1}dx=\frac{x}{2}-\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\ln \mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }+K$

$F(x)=\frac{x}{2}-\frac{3}{4}\ln \mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }+K$

Esa es la familia de todas las primitivas. Para que la gráfica pase por el origen se impone $F(0)=0$:

$F(0)=0-\frac{3}{4}\ln \mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }+K=K=0$

$F(x)=\frac{x}{2}-\frac{3}{4}\ln \mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }$

Conviene comprobarlo derivando:

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{2x+1}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2(2x+1)}=\frac{(2x+1)-3}{2(2x+1)}=\frac{x-1}{2x+1}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{encerrada}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{g(x)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{h(x)}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{corte.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Primero, los puntos de corte:

$x^2=x^3\Rightarrow x^2(1-x)=0\Rightarrow x=0\text{ o }x=1$

Entre esos dos valores hay que ver cuál de las dos gráficas queda por encima. Para $0<x<1$ se cumple $x^3<x^2$ (multiplicar por $x<1$ hace disminuir), de modo que la parábola está por encima de la cúbica.





$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_0^1(x^2-x^3)dx={[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}]}_0^1$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}\approx \mathrm{0,083}{\text{u}}^2$

El área encerrada entre las dos curvas es ${\displaystyle \frac{1}{12}}$ de unidad cuadrada. Es pequeña, como corresponde a dos curvas que se tocan en 0 y en 1 y apenas se separan entre medias: la distancia máxima entre ellas es $x^2-x^3$ evaluada en $x=2\mathrm{/}3$, que vale $4\mathrm{/}27\approx \mathrm{0,15}$.