Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Calcule el valor de $k$ para que ${\displaystyle {\int }_1^3{e}^{x-k}(x-2)dx=2}$. [2,5 puntos]

El factor $e^{-k}$ es constante respecto de la variable de integración, así que sale fuera de la integral.

${\int }_1^3{e}^{x-k}(x-2)dx=e^{-k}{\int }_1^3{e}^x(x-2)dx$

La integral que queda es de las que se resuelven por partes, tomando el polinomio como $u$ para que al derivarlo desaparezca.

$\{\begin{array}{ll}u=x-2& \Rightarrow du=dx\\ dv=e^{x}dx& \Rightarrow v=e^x\end{array}$

$\int e^x(x-2)dx=(x-2)e^x-\int e^{x}dx=(x-2)e^x-e^x=e^x(x-3)$

Aplicamos la regla de Barrow entre 1 y 3.

${\int }_1^3{e}^x(x-2)dx={[e^x(x-3)]}_1^3=e^3\cdot 0-e^1\cdot (-2)=2e$

Volvemos a la integral completa e imponemos la condición del enunciado.

$e^{-k}\cdot 2e=2\Rightarrow 2e^{1-k}=2\Rightarrow e^{1-k}=1$

La función exponencial vale 1 únicamente cuando el exponente es cero.

$1-k=0\Rightarrow k=1$

El valor buscado es $k=1$.