Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $f(x)={\displaystyle \frac{8{\mathrm{e}}^x-4{\mathrm{e}}^{2x}}{1+{\mathrm{e}}^x}}$, halle la primitiva de $f$ cuya gráfica tiene por tangente a la recta $y=2x+12\ln (2)$ en el punto de abscisa $x=0$. [2,5 puntos]

(Sugerencia: puede hacer el cambio ${\mathrm{e}}^x=t$).

Buscamos primero la familia de todas las primitivas y después imponemos la condición de la recta tangente. Seguimos la sugerencia del enunciado y hacemos el cambio de variable

${\mathrm{e}}^x=t\Rightarrow {\mathrm{e}}^{x}dx=dt\Rightarrow dx={\displaystyle \frac{dt}{t}}$

$\int {\displaystyle \frac{8{\mathrm{e}}^x-4{\mathrm{e}}^{2x}}{1+{\mathrm{e}}^x}}dx=\int {\displaystyle \frac{8t-4t^2}{1+t}}\cdot {\displaystyle \frac{dt}{t}}=\int {\displaystyle \frac{8-4t}{1+t}}dt$

El integrando es un cociente de polinomios del mismo grado, así que se hace la división entera.

${\displaystyle \frac{-4t+8}{t+1}}=-4+{\displaystyle \frac{12}{t+1}}$

$\int (-4+{\displaystyle \frac{12}{t+1}})dt=-4t+12\ln \mathrm{\mid }1+t\mathrm{\mid }+C$

Deshacemos el cambio, teniendo en cuenta que $1+{\mathrm{e}}^x>0$ y el valor absoluto sobra.

$F(x)=-4{\mathrm{e}}^x+12\ln (1+{\mathrm{e}}^x)+C$

La recta $y=2x+12\ln (2)$ es tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x=0$, lo que exige dos cosas: que las dos gráficas pasen por el mismo punto y que tengan la misma pendiente allí. La segunda condición se cumple automáticamente, porque

$F^{\mathrm{\prime }}(0)=f(0)={\displaystyle \frac{8-4}{1+1}}=2$

coincide con la pendiente de la recta. Queda imponer la primera, con el valor de la recta en $x=0$, que es $12\ln (2)$.

$F(0)=-4+12\ln 2+C=12\ln 2\Rightarrow C=4$

La primitiva pedida es $F(x)=-4{\mathrm{e}}^x+12\ln (1+{\mathrm{e}}^x)+4$.