Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x)=\cos x$. Halle el área de la superficie encerrada por la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x=-\frac{\pi }{4}$, la gráfica de $f$ y las rectas $x=-\frac{\pi }{4}$ y $x=\frac{\pi }{2}$. [2 puntos]

Lo primero es escribir la recta tangente. La pendiente es el valor de la derivada en el punto:

$f(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{sen}x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=-\mathrm{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$t:y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

Hay que saber cuál de las dos curvas queda por encima en el intervalo. En $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ el coseno es positivo, de modo que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\cos x<0$ y la gráfica es cóncava hacia abajo: la tangente queda por encima de la curva en todo el intervalo, tocándola solo en el punto de tangencia.



$A={\int }_{-\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}2}[{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})-\cos x]dx$

Se calcula la primitiva término a término, tomando ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}(x+\frac{\pi }{4})$ como una potencia:

$\int [{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})-\cos x]dx={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}x+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}{(x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}^2-\mathrm{sen}x$

Se evalúa en los dos extremos. En $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, el paréntesis vale ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$:

${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{9{\pi }^2}{16}}-1={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{9\sqrt{2}{\pi }^2}{64}}-1$

En $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, el paréntesis se anula:

$-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+0-\mathrm{sen}(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Restando:

$A={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{9\sqrt{2}{\pi }^2}{64}}-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}\pi }{8}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$A={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{9\sqrt{2}{\pi }^2}{64}}-1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

$A\approx \mathrm{1,6661}+\mathrm{1,9628}-1-\mathrm{0,7071}=\mathrm{1,9218}$

El área de la superficie pedida es ${\displaystyle \frac{3\sqrt{2}\pi }{8}}+{\displaystyle \frac{9\sqrt{2}{\pi }^2}{64}}-1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\approx \mathrm{1,9218}$ unidades cuadradas.