Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule el área del recinto limitado por las rectas $x=-2$, $x=2$, el eje $OX$ y la función [2 puntos]

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<0,\\ x,& x\ge 0.\end{array}$

La función está definida a trozos, así que la integral hay que partirla por el punto en que cambia de definición, que es $x=0$.

Antes conviene comprobar el signo en cada tramo, porque de él depende que el área coincida con la integral. En $[-2,0)$ la función es $x^2$, que es positiva; en $[0,2]$ es $x$, también positiva. El recinto queda entero por encima del eje.



$A={\int }_{-2}^0{x}^{2}dx+{\int }_0^{2}xdx$

${\int }_{-2}^0{x}^{2}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_{-2}^0=0-{\displaystyle \frac{-8}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$

${\int }_0^{2}xdx={\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]}_0^2={\displaystyle \frac{4}{2}}-0=2$

$A={\displaystyle \frac{8}{3}}+2={\displaystyle \frac{14}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{14}{3}}\approx \mathrm{4,6667}$ unidades cuadradas.

El segundo sumando se podía haber obtenido sin integrar: el recinto de la derecha es el triángulo rectángulo de vértices $(0,0)$, $(2,0)$ y $(2,2)$, cuya área es ${\displaystyle \frac{2\cdot 2}{2}}=2$.