Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Halle el área de la región que delimitan la gráfica de la función $g(x)=x\mathrm{sen}x$ y el eje de las abscisas en el intervalo que va de $x=0$ al menor valor $b>0$ tal que $g(b)=0$. [2 puntos]

Lo primero es localizar el extremo derecho del intervalo, que es el primer cero positivo de la función.

$g(b)=b\mathrm{sen}b=0\Rightarrow b=0\text{ o }\mathrm{sen}b=0$

El seno se anula en los múltiplos enteros de $\pi$, de modo que el menor valor positivo es

$b=\pi$

Dentro del intervalo $(0,\pi )$ la función no cambia de signo: $x>0$ y $\mathrm{sen}x>0$, luego $g(x)>0$ y el recinto queda por encima del eje. El área es entonces la integral definida sin más.



$A={\int }_0^{\pi }x\mathrm{sen}xdx$

Se calcula la primitiva por partes, tomando como $u$ el factor polinómico, que al derivarse desaparece:

$\{\begin{array}{ll}u=x& du=dx\\ dv=\mathrm{sen}xdx& v=-\cos x\end{array}$

$\int x\mathrm{sen}xdx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\mathrm{sen}x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$A={[-x\cos x+\mathrm{sen}x]}_0^{\pi }=(-\pi \cos \pi +\mathrm{sen}\pi )-(0+0)$

$=-\pi \cdot (-1)+0=\pi$

El área de la región es de $\pi \approx \mathrm{3,1416}$ unidades cuadradas.