Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Dibuje el recinto limitado por las parábolas $y=x^2-8x$ e $y=10-x^2$ y calcule su área. [2 puntos]

Se localizan primero los puntos de corte, que son los límites de integración.

$x^2-8x=10-x^2\Rightarrow 2x^2-8x-10=0\Rightarrow x^2-4x-5=0$

$x={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16+20}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 6}{2}}\Rightarrow x=-1,x=5$

Para dibujar el recinto se sitúan las dos parábolas. La primera, $y=x^2-8x$, se abre hacia arriba y tiene el vértice en $x={\displaystyle \frac{8}{2}}=4$, es decir, en $(4,-16)$; la segunda, $y=10-x^2$, se abre hacia abajo con el vértice en $(0,10)$. Entre $-1$ y $5$ la de arriba es esta última, como se comprueba en $x=0$: vale 10 frente a 0.



El área es la integral de la diferencia entre la curva superior y la inferior:

$A={\int }_{-1}^5[(10-x^2)-(x^2-8x)]dx={\int }_{-1}^5(10+8x-2x^2)dx$

$={[10x+4x^2-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}]}_{-1}^5$

$=(50+100-{\displaystyle \frac{250}{3}})-(-10+4+{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{200}{3}}-(-{\displaystyle \frac{16}{3}})={\displaystyle \frac{216}{3}}=72$

El área del recinto es de $72$ unidades cuadradas.