Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones $f(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}$ y $g(x)=3-x$. [0,5 puntos]

b) Sabiendo que en el intervalo $[1,2]$ se verifica que $g(x)\ge f(x)$, calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo. [1,5 puntos]

Igualamos las dos expresiones y quitamos denominadores, teniendo en cuenta que $x\mathrm{\ne }0$.

${\displaystyle \frac{2}{x}}=3-x\Rightarrow 2=3x-x^2\Rightarrow x^2-3x+2=0$

$x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}}={\displaystyle \frac{3\pm 1}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

Las dos soluciones son válidas y sus ordenadas se obtienen de cualquiera de las funciones:

$x=1\Rightarrow y=2x=2\Rightarrow y=1$

Los puntos de corte son $(1,2)$ y $(2,1)$.



Los extremos del recinto son precisamente las abscisas de los puntos de corte, y el enunciado ya nos dice cuál de las dos curvas queda por encima, así que el área es la integral de la diferencia.



$\mathcal{A}={\int }_1^2[g(x)-f(x)]dx={\int }_1^2(3-x-{\displaystyle \frac{2}{x}})dx$

$={[3x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-2\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }]}_1^2$

$=(6-2-2\ln 2)-(3-{\displaystyle \frac{1}{2}}-0)=4-2\ln 2-{\displaystyle \frac{5}{2}}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{3}{2}}-2\ln 2\approx \mathrm{0,114}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{3}{2}}-2\ln 2\approx \mathrm{0,114}$ unidades de área: sale pequeña porque en ese tramo las dos curvas están muy próximas.