Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule los siguientes límites:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x^3+2x^2}-\sqrt{3x^3}}}}$ [1,25 puntos]

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\cdot \sin {\displaystyle \frac{1}{x}}}$ [1,25 puntos]

El denominador es una diferencia de raíces que tiende a $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, así que multiplicamos y dividimos por el conjugado:

${\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3x^3+2x^2}-\sqrt{3x^3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{x}(\sqrt{3x^3+2x^2}+\sqrt{3x^3})}{(3x^3+2x^2)-3x^3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{x}(\sqrt{3x^3+2x^2}+\sqrt{3x^3})}{2x^2}}$

Metemos $\sqrt{x}$ dentro de cada raíz:

$={\displaystyle \frac{\sqrt{3x^4+2x^3}+\sqrt{3x^4}}{2x^2}}$

Ahora numerador y denominador son del mismo orden, $x^2$, y el límite es el cociente de los coeficientes:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{3x^4+2x^3}+\sqrt{3x^4}}{2x^2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7321}}$



Es una indeterminación $\mathrm{\infty }\cdot 0$. Con el cambio $u=\frac{1}{x}$, que tiende a 0 cuando $x$ tiende a infinito,

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}=\underset{u\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin u}{u}}=1}$

por el límite fundamental del seno. Los límites pedidos valen $\sqrt{3}$ y $1$.