Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Navarra · 2024

Halle los máximos y mínimos (relativos y absolutos), los puntos de inflexión y las asíntotas de la función $f(x)=e^{-x^2}$. Represente, de manera aproximada, la gráfica de $f$. [2,5 puntos]

La función $f(x)=e^{-x^2}$ es una exponencial compuesta con un polinomio, así que está definida, es continua y es derivable en todo $\mathbb{R}$, y además es siempre positiva. Es par, porque $f(-x)=e^{-(-x{)}^2}=e^{-x^2}=f(x)$, de modo que su gráfica es simétrica respecto del eje $OY$.

Extremos. Derivamos e igualamos a cero:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x{e}^{-x^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x{e}^{-x^2}=0\Rightarrow x=0$

pues la exponencial no se anula nunca. Como $e^{-x^2}>0$, el signo de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ es el de $-2x$: positivo si $x<0$ y negativo si $x>0$. La función crece en $(-\mathrm{\infty },0)$ y decrece en $(0,+\mathrm{\infty })$, luego en $x=0$ hay un máximo, y por ser el único es el máximo absoluto:

$f(0)=e^0=1\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo en }(0,1)$

No hay mínimos relativos. Tampoco hay mínimo absoluto: la función es siempre positiva y se acerca a 0 sin alcanzarlo.

Puntos de inflexión. Derivamos otra vez:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2e^{-x^2}+(-2x)(-2x)e^{-x^2}=2(2x^2-1)e^{-x^2}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x^2-1=0\Rightarrow x=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$

El factor $2x^2-1$ cambia de signo en los dos valores, así que los dos son puntos de inflexión:

$f(\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=e^{-1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}\approx \mathrm{0,6065}$

La curva es cóncava hacia abajo en $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ y hacia arriba fuera de ese intervalo.

Asíntotas. El dominio es todo $\mathbb{R}$ y la función es continua, así que no hay asíntotas verticales.

${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x^2}=e^{-\mathrm{\infty }}=0}$

luego $y=0$ es asíntota horizontal por los dos lados, y al haberla no hay asíntota oblicua.

Con todo lo anterior —simetría par, máximo en $(0,1)$, inflexiones en $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ y la asíntota $y=0$— la gráfica es la campana:



La función tiene un máximo absoluto en $(0,1)$, ningún mínimo, puntos de inflexión en $(\pm \frac{\sqrt{2}}{2},e^{-1\mathrm{/}2})$ y la asíntota horizontal $y=0$.