Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema $\{\begin{array}{l}3x-y\phantom{+(3-a)z}=a^2\\ \phantom{3x+}(1-a)y+2z=0\\ \phantom{3x+}4y+(3-a)z=a-5\end{array}$

a) Discútalo según los valores de $a$. [1,75 puntos]

b) Para $a=0$ resuelva el sistema, si es posible. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Disc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{talo}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada del sistema.

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ 0& 1-a& 2\\ 0& 4& 3-a\end{array}\right),M\mathrm{\mid }B=\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 0& a^2\\ 0& 1-a& 2& 0\\ 0& 4& 3-a& a-5\end{array}\right)$

Calculamos el determinante de $M$ desarrollando por la primera columna.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=3\cdot \mid \begin{array}{cc}1-a& 2\\ 4& 3-a\end{array}\mid =3[(1-a)(3-a)-8]$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=3(a^2-4a-5)=3(a-5)(a+1)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=5\\ a=-1\end{array}$

Discutimos los tres casos por el teorema de Rouché-Frobenius.

Si $a\mathrm{\ne }5$ y $a\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M\mathrm{\mid }B)=3$, que es el número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Si $a=5$, las matrices quedan

$M\mathrm{\mid }B=\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 0& 25\\ 0& -4& 2& 0\\ 0& 4& -2& 0\end{array}\right)$

La tercera fila es la segunda cambiada de signo, término independiente incluido, luego se puede suprimir. Queda el menor

$\mid \begin{array}{cc}3& -1\\ 0& -4\end{array}\mid =-12\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M\mathrm{\mid }B)=2<3$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Si $a=-1$, las matrices quedan

$M\mathrm{\mid }B=\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 0& 1\\ 0& 2& 2& 0\\ 0& 4& 4& -6\end{array}\right)$

Ahora la tercera fila de coeficientes es el doble de la segunda, así que $\mathrm{rg}(M)=2$, pero los términos independientes no guardan esa proporción ($-6\mathrm{\ne }2\cdot 0$). Orlando con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 4& -6\end{array}\mid =3(2\cdot (-6)-0\cdot 4)=-36\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(M\mathrm{\mid }B)=3$

Al ser $\mathrm{rg}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{rg}(M\mathrm{\mid }B)$, el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }5$ y $a\mathrm{\ne }-1$, compatible indeterminado si $a=5$ e incompatible si $a=-1$.



Para $a=0$ estamos en el primer caso de la discusión, así que el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}3x-y=0\\ y+2z=0\\ 4y+3z=-5\end{array}$

Despejamos $y=-2z$ en la segunda ecuación y sustituimos en la tercera.

$4(-2z)+3z=-5\Rightarrow -5z=-5\Rightarrow z=1$

$y=-2\cdot 1=-2\Rightarrow 3x=y=-2\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

La solución del sistema para $a=0$ es $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, $y=-2$, $z=1$.