Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Considere la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x-y+z=3\\ x+2y-z=4\end{array}$ y el plano $\pi \equiv mx-y-2z=5$.

a) Halle $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. [1,5 puntos]

b) Para $m=-8$, calcule la distancia de la recta $r$ al plano $\pi$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathit{m}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{paralelos.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su vector director es perpendicular a los dos vectores normales y se obtiene con su producto vectorial.

${\vec{n}}_1=(1,-1,1),{\vec{n}}_2=(1,2,-1)$

${\vec{d}}_r={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\mid =(1-2)\vec{\mathrm{ı}}-(-1-1)\vec{\mathrm{ȷ}}+(2+1)\vec{k}=(-1,2,3)$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al vector normal del plano, es decir, cuando el producto escalar de ambos es nulo.

${\vec{n}}_{\pi }=(m,-1,-2)$

${\vec{d}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=(-1)m+2(-1)+3(-2)=-m-8=0\Rightarrow m=-8$

Falta comprobar que la recta no está contenida en el plano, en cuyo caso el paralelismo no sería estricto. Buscamos un punto de $r$ haciendo $z=0$ en su sistema:

$\{\begin{array}{l}x-y=3\\ x+2y=4\end{array}\Rightarrow 3y=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{3}},x={\displaystyle \frac{10}{3}}\Rightarrow A({\displaystyle \frac{10}{3}},{\displaystyle \frac{1}{3}},0)$

$-8\cdot {\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}-2\cdot 0=-{\displaystyle \frac{81}{3}}=-27\mathrm{\ne }5$

El punto no pertenece al plano, luego la recta tampoco.

Para $m=-8$ la recta $r$ y el plano $\pi$ son paralelos.



Al ser paralelos, todos los puntos de la recta equidistan del plano, así que basta calcular la distancia de un punto cualquiera de $r$ —tomamos el $A$ del apartado anterior— al plano.



$\pi \equiv -8x-y-2z-5=0$

$d(r,\pi )=d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mid -8\cdot {\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}-2\cdot 0-5\mid }{\sqrt{(-8{)}^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}}}$

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{\mid -27-5\mid }{\sqrt{64+1+4}}}={\displaystyle \frac{32}{\sqrt{69}}}$

Racionalizamos el denominador.

$d(r,\pi )={\displaystyle \frac{32\sqrt{69}}{69}}\approx \mathrm{3,85}$

La distancia de la recta al plano es ${\displaystyle \frac{32\sqrt{69}}{69}}\approx \mathrm{3,85}$ unidades.