Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Considere el punto $P(1,1,1)$ y la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y-2}{2}}={\displaystyle \frac{z-3}{2}}$.

a) Halle el plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$. [1 punto]

b) Halle la recta que pasa por el punto $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

De la ecuación continua de la recta leemos un punto de paso y su vector director.

$P_r(1,2,3),{\vec{d}}_r=(1,2,2)$

Comprobamos primero que $P$ no pertenece a $r$, pues si perteneciera habría infinitos planos que cumplirían lo pedido.

${\displaystyle \frac{1-1}{1}}=0,{\displaystyle \frac{1-2}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow 0\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

El punto no está en la recta, así que el plano queda determinado por $P$, la dirección de la recta y el vector que une $P_r$ con $P$.

$\overrightarrow{P_{r}P}=(1-1,1-2,1-3)=(0,-1,-2)$

El vector normal es el producto vectorial de esos dos.

$\vec{n}={\vec{d}}_r\times \overrightarrow{P_{r}P}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 1& 2& 2\\ 0& -1& -2\end{array}\mid =(-4+2)\vec{\mathrm{ı}}-(-2-0)\vec{\mathrm{ȷ}}+(-1-0)\vec{k}=(-2,2,-1)$

Imponemos que el plano pase por $P(1,1,1)$.

$-2(x-1)+2(y-1)-1(z-1)=0\Rightarrow -2x+2y-z+1=0$

Cambiando el signo para dejar positivo el primer coeficiente y comprobando con $P_r(1,2,3)$: $2-4+3-1=0$.

El plano pedido es $2x-2y+z-1=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{perpendicularmente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos un punto genérico de $r$ en función del parámetro y le exigimos que el vector que lo une con $P$ sea perpendicular a la dirección de la recta: ese punto es el pie de la perpendicular.

$Q(1+t,2+2t,3+2t)$

$\overrightarrow{PQ}=(1+t-1,2+2t-1,3+2t-1)=(t,1+2t,2+2t)$



$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{d}}_r=0\Rightarrow t+2(1+2t)+2(2+2t)=0$

$t+2+4t+4+4t=0\Rightarrow 9t+6=0\Rightarrow t=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Sustituimos ese valor para obtener el pie y el vector director de la recta buscada.

$Q({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})$

$\overrightarrow{PQ}=(-{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}})$

Multiplicamos por $-3$, que no cambia la dirección, para trabajar con números enteros: $\vec{v}=(2,1,-2)$.

$s\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-2}}$

La recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a $r$ es $s\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-1}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-2}}$, y el punto de corte es $Q({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})$.