Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Sean las rectas $r\equiv {\displaystyle \frac{x+1}{4}}={\displaystyle \frac{y+2}{3}}={\displaystyle \frac{z-2}{-1}}$ y $s\equiv \{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\ y=2+\lambda \\ z=-3-2\lambda \end{array}$

a) Estudie la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

b) Halle la ecuación de un plano que contiene a $r$ y a una recta perpendicular a las rectas $r$ y $s$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Extraemos de cada ecuación un punto y un vector director.

$r:P_r(-1,-2,2),{\vec{d}}_r=(4,3,-1)s:P_s(1,2,-3),{\vec{d}}_s=(-1,1,-2)$

Los vectores directores no son proporcionales —${\displaystyle \frac{4}{-1}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{3}{1}}$—, así que las rectas no son ni paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto de los dos directores con el vector que une los puntos de paso.

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(1-(-1),2-(-2),-3-2)=(2,4,-5)$

$[\overrightarrow{P_r{P}_s},{\vec{d}}_r,{\vec{d}}_s]=\mid \begin{array}{ccc}2& 4& -5\\ 4& 3& -1\\ -1& 1& -2\end{array}\mid$

$=2(-6+1)-4(-8-1)+(-5)(4+3)=-10+36-35=-9$



Como el producto mixto es distinto de cero, los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una dirección perpendicular a la vez a $r$ y a $s$ es la del producto vectorial de sus directores.

$\vec{w}={\vec{d}}_r\times {\vec{d}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 4& 3& -1\\ -1& 1& -2\end{array}\mid =(-6+1)\vec{\mathrm{ı}}-(-8-1)\vec{\mathrm{ȷ}}+(4+3)\vec{k}=(-5,9,7)$

El plano buscado contiene a $r$ y a una recta de dirección $\vec{w}$, de modo que queda determinado por el punto $P_r$ y los vectores ${\vec{d}}_r$ y $\vec{w}$. Su vector normal es perpendicular a ambos:

$\vec{n}={\vec{d}}_r\times \vec{w}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ 4& 3& -1\\ -5& 9& 7\end{array}\mid =(21+9)\vec{\mathrm{ı}}-(28-5)\vec{\mathrm{ȷ}}+(36+15)\vec{k}=(30,-23,51)$

Escribimos la ecuación del plano que pasa por $P_r(-1,-2,2)$ con ese vector normal.

$30(x+1)-23(y+2)+51(z-2)=0$

$30x+30-23y-46+51z-102=0$

Comprobamos que $P_r$ lo verifica: $-30+46+102-118=0$.

Un plano que contiene a $r$ y a una recta perpendicular a $r$ y a $s$ es $30x-23y+51z-118=0$.