Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Dado el plano $\pi \equiv 2x+2y+z=5$:

a) Encuentre la ecuación de un plano paralelo a $\pi$ cuya distancia al origen sea 2. ¿Existe más de un plano que cumpla estas condiciones? [0,75 puntos]

b) Calcule el punto $P$ del plano $\pi$ que está más próximo al origen $O$. [1 punto]

c) Calcule el área del paralelogramo formado por los segmentos $OP$ y $OQ$, donde $Q(3,3,3)$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{π}}\mathbf{\text{cuya}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{¿Existe}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cumpla}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{condiciones?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Dos planos son paralelos cuando tienen el mismo vector normal, así que el plano buscado es de la forma

${\pi }^{\mathrm{\prime }}\equiv 2x+2y+z=D$

con $D$ por determinar. La distancia del origen a ese plano es

$d(O,{\pi }^{\mathrm{\prime }})=\frac{\mathrm{\mid }2\cdot 0+2\cdot 0+0-D\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }}{3}=2\Rightarrow \mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=6$

Hay, pues, dos valores posibles, y por tanto dos planos:

${\pi }_1\equiv 2x+2y+z=6{\pi }_2\equiv 2x+2y+z=-6$

Sí existe más de un plano: uno a cada lado del origen. Ninguno de los dos coincide con $\pi$, cuya distancia al origen es $5\mathrm{/}3\approx \mathrm{1,67}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{π}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{O.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El punto más próximo es la proyección ortogonal del origen sobre el plano: el pie de la perpendicular. Se traza la recta que pasa por $O$ con la dirección del vector normal $\vec{n}=(2,2,1)$ y se corta con $\pi$.





$(x,y,z)=(0,0,0)+t(2,2,1)=(2t,2t,t)$

$2(2t)+2(2t)+t=5\Rightarrow 9t=5\Rightarrow t=\frac{5}{9}$

$P=(\frac{10}{9},\frac{10}{9},\frac{5}{9})$

Se comprueba que está en el plano: $\frac{20}{9}+\frac{20}{9}+\frac{5}{9}=\frac{45}{9}=5$. Y su distancia al origen coincide, como debe ser, con la distancia del origen al plano:

$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}\mathrm{\mid }=\sqrt{{\left(\frac{10}{9}\right)}^2+{\left(\frac{10}{9}\right)}^2+{\left(\frac{5}{9}\right)}^2}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{paralelogramo}}\mathbf{\text{formado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{segmentos}}\mathbf{\text{OP}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{OQ,}}\mathbf{\text{donde}}\mathbf{\text{Q(3,}}\mathbf{\text{3,}}\mathbf{\text{3).}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El área del paralelogramo que determinan dos vectores es el módulo de su producto vectorial:

$\overrightarrow{OP}=(\frac{10}{9},\frac{10}{9},\frac{5}{9})\overrightarrow{OQ}=(3,3,3)$

$\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{\mathrm{ı}}& \vec{\mathrm{ȷ}}& \vec{k}\\ \frac{10}{9}& \frac{10}{9}& \frac{5}{9}\\ 3& 3& 3\end{array}\mid =(\frac{30}{9}-\frac{15}{9})\vec{\mathrm{ı}}-(\frac{30}{9}-\frac{15}{9})\vec{\mathrm{ȷ}}+(\frac{30}{9}-\frac{30}{9})\vec{k}$

$\overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ}=(\frac{5}{3},-\frac{5}{3},0)$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=\mid \overrightarrow{OP}\times \overrightarrow{OQ}\mid =\sqrt{{\left(\frac{5}{3}\right)}^2+{(-\frac{5}{3})}^2+0}=\frac{5}{3}\sqrt{2}\approx \mathrm{2,36}{\text{u}}^2$

El área del paralelogramo es ${\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{2,36}$ unidades cuadradas. Que el producto vectorial no sea nulo confirma de paso que $O$, $P$ y $Q$ no están alineados, sin lo cual no habría paralelogramo.