Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dadas las rectas $r$ y $s$ [2 puntos]

$r\equiv \{\begin{array}{l}x+y-z=1,\\ 4x-2y+2z=10,\end{array}s\equiv {\displaystyle \frac{x+3}{1}}={\displaystyle \frac{y+2}{2}}={\displaystyle \frac{z-1}{3}},$

y el plano $\pi \equiv x+y-z+6=0$, halle la posición relativa entre:

a) las rectas $r$ y $s$;

b) el plano $\pi$ y la recta $s$.

Se pone cada recta en la forma más cómoda: de $s$ se leen directamente punto y director, y de $r$ el director sale del producto vectorial de los dos normales.

${\vec{v}}_r=(1,1,-1)\times (4,-2,2)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 4& -2& 2\end{array}\mid =(2-2,-4-2,-2-4)=(0,-6,-6)$

Se simplifica dividiendo entre $-6$:

${\vec{v}}_r=(0,1,1)$

$s:B(-3,-2,1),{\vec{v}}_s=(1,2,3)$

Los dos directores no son proporcionales —la primera componente de uno es 0 y la del otro no—, de modo que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto, que es nulo exactamente cuando los tres vectores son coplanarios.

Se necesita un punto de $r$. Con $z=0$, y simplificando la segunda ecuación a $2x-y+z=5$:

$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 2x-y=5\end{array}\Rightarrow 3x=6\Rightarrow x=2,y=-1$

$A(2,-1,0)\in r,\overrightarrow{AB}=(-5,-1,1)$

$[\overrightarrow{AB},{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s]=\mid \begin{array}{ccc}-5& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\mid =-5(3-2)+1(0-1)+1(0-1)=-5-1-1=-7$

El producto mixto vale $-7\mathrm{\ne }0$, luego los vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.





Lo que decide la posición relativa es si el director de la recta es perpendicular al normal del plano.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,-1),{\vec{v}}_s=(1,2,3)$

${\vec{n}}_{\pi }\cdot {\vec{v}}_s=1+2-3=0$

Se anula, de modo que la recta es paralela al plano o está contenida en él. Para distinguir los dos casos basta comprobar si un punto de la recta pertenece al plano:

$B(-3,-2,1):-3-2-1+6=0$

El punto sí pertenece, luego la recta $s$ está contenida en el plano $\pi$.