Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Calcule el siguiente límite: [1 punto]

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{1-\mathrm{sen}x\cos x}{1+\mathrm{sen}x\cos x}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{sen}x}}}$

b) Determine el valor de la constante real $a$ para que se satisfaga la siguiente igualdad: [1 punto]

${\displaystyle \underset{x\to 4}{\lim }\frac{\mathrm{tg}((\frac{\pi }{8}+1)\sqrt{x}-2)}{x^2-16+ax}=\frac{1}{32}}$

Al sustituir, la base tiende a 1 —porque $\mathrm{sen}0=0$— y el exponente a infinito: es la indeterminación del número $e$.

$\lim u(x{)}^{v(x)}=e^{\lim v(x)[u(x)-1]}$

Se calcula primero la diferencia $u(x)-1$ reduciendo a común denominador:

${\displaystyle \frac{1-\mathrm{sen}x\cos x}{1+\mathrm{sen}x\cos x}}-1={\displaystyle \frac{(1-\mathrm{sen}x\cos x)-(1+\mathrm{sen}x\cos x)}{1+\mathrm{sen}x\cos x}}={\displaystyle \frac{-2\mathrm{sen}x\cos x}{1+\mathrm{sen}x\cos x}}$

Al multiplicar por el exponente, el seno se cancela con el del denominador:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}x}}\cdot {\displaystyle \frac{-2\mathrm{sen}x\cos x}{1+\mathrm{sen}x\cos x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-2\cos x}{1+\mathrm{sen}x\cos x}}={\displaystyle \frac{-2}{1+0}}=-2$

${\lim }_{x\to 0}{\left({\displaystyle \frac{1-\mathrm{sen}x\cos x}{1+\mathrm{sen}x\cos x}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{sen}x}}=e^{-2}\approx \mathrm{0,1353}$



Lo primero es comprobar si al sustituir aparece realmente una indeterminación, porque de eso depende todo el planteamiento. En el numerador:

$({\displaystyle \frac{\pi }{8}}+1)\sqrt{4}-2={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+2-2={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

$\mathrm{tg}{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=1$

El numerador tiende a 1, que no es cero: no hay indeterminación. En el denominador:

${(x^2-16+ax)}_{x=4}=16-16+4a=4a$

Si $a=0$ el denominador se anularía y el límite sería infinito, así que ha de ser $a\mathrm{\ne }0$ y entonces el límite se obtiene sustituyendo sin más:

${\lim }_{x\to 4}{\displaystyle \frac{\mathrm{tg}((\frac{\pi }{8}+1)\sqrt{x}-2)}{x^2-16+ax}}={\displaystyle \frac{1}{4a}}$

Se impone la condición del enunciado:

${\displaystyle \frac{1}{4a}}={\displaystyle \frac{1}{32}}\Rightarrow 4a=32\Rightarrow a=8$

El valor pedido es $a=8$.