Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule $a$ y $b$ sabiendo que

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{x\mathrm{sen}(x)+a(e^x-1)+\mathrm{sen}(x)}{b{x}^2+x-\mathrm{sen}(x)}}=1}$. [2,5 puntos]

Al sustituir $x=0$ tanto el numerador como el denominador se anulan, así que estamos ante una indeterminación ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ y podemos aplicar la regla de L'Hôpital tantas veces como haga falta.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{x\mathrm{sen}x+a(e^x-1)+\mathrm{sen}x}{b{x}^2+x-\mathrm{sen}x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x+x\cos x+a{e}^x+\cos x}{2bx+1-\cos x}}$

Al sustituir de nuevo se obtiene

${\displaystyle \frac{0+0+a+1}{0+1-1}}={\displaystyle \frac{a+1}{0}}$

Para que el límite sea finito el numerador tiene que anularse también aquí; en caso contrario el cociente se iría a infinito.

$a+1=0\Rightarrow a=-1$

Con ese valor volvemos a tener ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ y aplicamos L'Hôpital por segunda vez.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x+x\cos x-e^x+\cos x}{2bx+1-\cos x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2\cos x-x\mathrm{sen}x-e^x-\mathrm{sen}x}{2b+\mathrm{sen}x}}$

Ahora sí se puede sustituir:

${\displaystyle \frac{2-0-1-0}{2b+0}}={\displaystyle \frac{1}{2b}}$

Imponemos que ese valor sea 1, que es el límite que da el enunciado.

${\displaystyle \frac{1}{2b}}=1\Rightarrow b={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Los valores buscados son $a=-1$ y $b={\displaystyle \frac{1}{2}}$.