Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sabiendo que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(x)-ax+2-2\cos (x)}{e^x-x\cos (x)-1}}}$ es finito, calcule $a$ y el valor del límite. [2,5 puntos]

Al sustituir $x=0$ el numerador vale $0-0+2-2=0$ y el denominador $1-0-1=0$, de modo que hay una indeterminación ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ y se puede aplicar la regla de L'Hôpital.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x-ax+2-2\cos x}{e^x-x\cos x-1}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\cos x-a+2\mathrm{sen}x}{e^x-\cos x+x\mathrm{sen}x}}$

donde se ha derivado el producto $x\cos x$ como $\cos x-x\mathrm{sen}x$. Al sustituir de nuevo queda

${\displaystyle \frac{1-a+0}{1-1+0}}={\displaystyle \frac{1-a}{0}}$

El denominador se anula, así que para que el límite sea finito el numerador tiene que anularse también.

$1-a=0\Rightarrow a=1$

Con $a=1$ recuperamos la indeterminación ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ y aplicamos L'Hôpital por segunda vez.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\cos x-1+2\mathrm{sen}x}{e^x-\cos x+x\mathrm{sen}x}}={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}x+2\cos x}{e^x+\mathrm{sen}x+\mathrm{sen}x+x\cos x}}$

$={\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-\mathrm{sen}x+2\cos x}{e^x+2\mathrm{sen}x+x\cos x}}$

Ahora sí se puede sustituir directamente:

${\displaystyle \frac{-0+2}{1+0+0}}=2$

Para $a=1$ el límite es finito y vale $2$.