Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Calcular ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-\cos x-x}{e^x+\mathrm{sen}x-1}}}$. [1 punto]

b) Calcular ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\mathrm{sen}x+\cos x)dx}$. [1 punto]

Al sustituir se anulan numerador y denominador, así que aplicamos la regla de L'Hôpital.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x-\cos x-x}{e^x+\mathrm{sen}x-1}}={\displaystyle \frac{1-1-0}{1+0-1}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$



Ahora el denominador ya no se anula, así que basta sustituir:

$={\displaystyle \frac{1+0-1}{1+1}}={\displaystyle \frac{0}{2}}=0$

El valor del límite es $0$.



Las dos integrales son inmediatas, sin más que recordar el signo de la primitiva del seno.

$\int (\mathrm{sen}x+\cos x)dx=-\cos x+\mathrm{sen}x$

Aplicando la regla de Barrow:

${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}(\mathrm{sen}x+\cos x)dx={[-\cos x+\mathrm{sen}x]}_0^{\pi \mathrm{/}2}$

$=(-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{\pi }{2}})-(-\cos 0+\mathrm{sen}0)=(0+1)-(-1+0)=2$

El valor de la integral es $2$.