Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Navarra · 2021

Calcule las asíntotas de esta función y estudie la posición de la curva respecto a ellas:

$f(x)={\displaystyle \frac{x^3-4x-1}{x^2-4}}$ [2,5 puntos]

El denominador se anula en dos puntos:

$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow \text{Dom }f(x)=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

Conviene empezar efectuando la división, porque de ella salen a la vez la asíntota oblicua y la posición de la curva:

$x^3-4x-1=x(x^2-4)-1\Rightarrow f(x)=x-{\displaystyle \frac{1}{x^2-4}}$

Asíntotas verticales. En $x=\pm 2$ el numerador no se anula —$f$ vale $-1$ y $-1$ respectivamente—, así que las dos rectas son asíntotas verticales. El signo de $x^2-4$ decide el de los límites: es positivo fuera de $[-2,2]$ y negativo dentro.

${\displaystyle \underset{x\to -2^{-}}{\lim }(x-{\displaystyle \frac{1}{x^2-4}})=-2-{\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }{\displaystyle \underset{x\to -2^{+}}{\lim }=-2-{\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }}}$

${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{\lim }(x-{\displaystyle \frac{1}{x^2-4}})=2-{\displaystyle \frac{1}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }{\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{\lim }=2-{\displaystyle \frac{1}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }}}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera en uno al del denominador, de modo que ${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ y no hay ninguna; sí hay, en cambio, asíntota oblicua.

$m={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^3-4x-1}{x^3-4x}}=1}$

$n={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-1}{x^2-4}}=0}$

La asíntota oblicua es $y=x$, la misma en $+\mathrm{\infty }$ y en $-\mathrm{\infty }$.

Posición de la curva respecto de la oblicua. La diferencia ya la tenemos calculada:

$f(x)-x={\displaystyle \frac{-1}{x^2-4}}$

Si $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>2$, el denominador es positivo y la diferencia negativa: la curva va por debajo de la asíntota. Si $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<2$, el denominador es negativo y la diferencia positiva: la curva va por encima.



La función tiene las asíntotas verticales $x=-2$ y $x=2$ y la asíntota oblicua $y=x$, y no tiene horizontal. La curva queda por debajo de la oblicua en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$ y por encima en $(-2,2)$.