Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

a) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}$, determinar su dominio de definición, su monotonía y sus asíntotas. Justificar la existencia o no de extremos relativos. [1,5 puntos]

b) Calcular ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\mathrm{sen}(x)\cos (x)dx}$. [1 punto]

El denominador $1+e^x$ es suma de $1$ y de una exponencial, que es siempre positiva, luego no se anula nunca.

$1+e^x>1>0\text{para todo }x\in \mathbb{R}\Rightarrow \mathrm{Dom}f=\mathbb{R}$

Derivamos para estudiar la monotonía:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-e^x}{{(1+e^x)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, siempre positivo, y el numerador es siempre negativo, de modo que $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ en todo el dominio: la función es estrictamente decreciente en $\mathbb{R}$.

Como $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ no se anula en ningún punto, no hay puntos críticos y, en consecuencia, la función no tiene extremos relativos.

Al ser el dominio todo $\mathbb{R}$ y ser $f$ continua, no hay asíntotas verticales. Estudiamos el comportamiento en el infinito:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}={\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{\infty }}}=0$

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}={\displaystyle \frac{1}{1+0}}=1$

Hay, pues, dos asíntotas horizontales: $y=0$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ e $y=1$ cuando $x\to -\mathrm{\infty }$. Al existir asíntota horizontal en las dos ramas, no puede haber asíntotas oblicuas.

La función decrece, pues, de $1$ a $0$ sin alcanzar ninguno de los dos valores, pasando por $f(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.





El integrando es del tipo $u\cdot u^{\mathrm{\prime }}$ tomando $u=\mathrm{sen}(x)$, así que resolvemos con un cambio de variable.

$\{\begin{array}{l}t=\mathrm{sen}(x)\\ dt=\cos (x)dx\end{array}\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=0\\ x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow t=1\end{array}$

${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\mathrm{sen}(x)\cos (x)dx={\int }_0^{1}tdt={\left[{\displaystyle \frac{t^2}{2}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El valor de la integral es ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.