Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Navarra · 2025

Se considera la función $f(x)={\displaystyle \frac{3x^3}{x^2-4}}$. Estudie sus asíntotas y simetrías.

Estudie la aproximación de la función a sus asíntotas verticales. [2,5 puntos]

El denominador se anula en dos puntos:

$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow \text{Dom }f(x)=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

Asíntotas verticales. En $x=2$ y en $x=-2$ el numerador vale $24$ y $-24$ respectivamente, así que ninguno de los dos es una indeterminación y las dos rectas son asíntotas verticales. La aproximación de la función a cada una la dan los límites laterales, teniendo en cuenta que $x^2-4$ es positivo fuera de $[-2,2]$ y negativo dentro:

${\displaystyle \underset{x\to -2^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^3}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-24}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }{\displaystyle \underset{x\to -2^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^3}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-24}{0^{-}}}=+\mathrm{\infty }}}$

${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^3}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{24}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }{\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^3}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{24}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }}}$

Es decir, la curva se va hacia abajo por la izquierda de cada asíntota y hacia arriba por su derecha.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador es mayor que el del denominador:

${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^3}{x^2-4}}=\pm \mathrm{\infty }}$

luego no hay asíntota horizontal. Al superarlo exactamente en una unidad, sí hay asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^3}{x^3-4x}}=3}$

$n={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }({\displaystyle \frac{3x^3}{x^2-4}}-3x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^3-3x(x^2-4)}{x^2-4}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{12x}{x^2-4}}=0}$

La asíntota oblicua es $y=3x$, la misma en $+\mathrm{\infty }$ y en $-\mathrm{\infty }$. Efectuando la división se ve igual de rápido:

$f(x)={\displaystyle \frac{3x^3}{x^2-4}}=3x+{\displaystyle \frac{12x}{x^2-4}}$

Simetrías. El dominio es simétrico respecto del origen, así que tiene sentido comparar:

$f(-x)={\displaystyle \frac{3(-x{)}^3}{(-x{)}^2-4}}={\displaystyle \frac{-3x^3}{x^2-4}}=-f(x)$

La función es impar, luego su gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas. Esa simetría explica que las dos asíntotas verticales sean simétricas entre sí y que la oblicua pase por el origen.



La función tiene las asíntotas verticales $x=-2$ y $x=2$, la asíntota oblicua $y=3x$ y ninguna horizontal, y es impar: su gráfica es simétrica respecto del origen.