Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

En la Unión Europea hay aproximadamente 250 millones de hombres adultos, de los cuales 12 millones miden más de 190 cm. En Holanda hay aproximadamente 7 millones de hombres adultos, cuya altura sigue una distribución normal con media 184 cm y desviación típica 7 cm. Supongamos que elegimos un hombre adulto al azar de toda la Unión Europea.

a) Calcule la probabilidad de que mida más de 190 cm. [0,25 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que sea holandés. [0,25 puntos]

c) Calcule la probabilidad de que mida más de 190 cm sabiendo que es holandés. [1 punto]

d) Calcule la probabilidad de que sea holandés sabiendo que mide más de 190 cm. [1 punto]

Llamamos $H$ al suceso «el hombre elegido es holandés» y $M$ al suceso «mide más de $190\text{ cm}$». Los dos primeros apartados salen directamente de los recuentos del enunciado, por la regla de Laplace.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{mida}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{190}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

De los $250$ millones de hombres adultos de la Unión Europea, $12$ millones miden más de $190\text{ cm}$.

$P(M)={\displaystyle \frac{12}{250}}=\mathrm{0,048}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{holand}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

De los mismos $250$ millones, $7$ millones son holandeses.

$P(H)={\displaystyle \frac{7}{250}}=\mathrm{0,028}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{mida}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{190}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{holand}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Condicionar a que sea holandés equivale a trabajar dentro de esa población, cuya altura sí sigue una distribución normal conocida.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(184;7),Z={\displaystyle \frac{X-184}{7}}\sim N(0,1)$

$P(M\mathrm{\mid }H)=P(X>190)=P(Z>{\displaystyle \frac{190-184}{7}})=P(Z>\mathrm{0,86})$

$=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,86})=1-\mathrm{0,8051}=\mathrm{0,1949}$



La probabilidad de que un holandés mida más de $190\text{ cm}$ es $\mathrm{0,1949}$, es decir, un $\mathrm{19,49}\mathrm{\%}$: cuatro veces la media europea.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{holand}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{190}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es la probabilidad inversa de la anterior, así que aplicamos el teorema de Bayes con los datos ya calculados.

$P(H\mathrm{\mid }M)={\displaystyle \frac{P(M\mathrm{\mid }H)\cdot P(H)}{P(M)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,1949}\cdot \mathrm{0,028}}{\mathrm{0,048}}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0054572}}{\mathrm{0,048}}}\approx \mathrm{0,1137}$

La probabilidad de que un europeo de más de $190\text{ cm}$ sea holandés es $\mathrm{0,1137}$, un $\mathrm{11,37}\mathrm{\%}$, frente al $\mathrm{2,8}\mathrm{\%}$ que representan los holandeses en el conjunto de la Unión.