Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

El 90 % de las personas de una población están vacunadas contra la enfermedad $E$. El 5 % de las personas no vacunadas tienen la enfermedad $E$, y el 1 % de las personas vacunadas también han contraído la enfermedad. Se selecciona una persona al azar de dicha población:

a) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que esté vacunada sabiendo que está enferma. [1,5 puntos]

Llamamos $V$ al suceso «la persona está vacunada» y $E$ al suceso «la persona tiene la enfermedad». Los datos del enunciado son

$P(V)=\mathrm{0,90},P(E\mathrm{\mid }V)=\mathrm{0,01},P(E\mathrm{\mid }\bar{V})=\mathrm{0,05}$

El árbol del experimento es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{enferma.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Los sucesos $V$ y $\bar{V}$ forman un sistema completo, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las dos ramas que acaban en $E$.

$P(E)=P(V)P(E\mathrm{\mid }V)+P(\bar{V})P(E\mathrm{\mid }\bar{V})$

$=\mathrm{0,90}\cdot \mathrm{0,01}+\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,05}=\mathrm{0,009}+\mathrm{0,005}=\mathrm{0,014}$

La probabilidad de que una persona elegida al azar esté enferma es $\mathrm{0,014}$, es decir, un $\mathrm{1,4}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{vacunada}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{enferma.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide la probabilidad de la causa conocido el efecto, así que aplicamos el teorema de Bayes dividiendo la rama que interesa entre el total del apartado anterior.

$P(V\mathrm{\mid }E)={\displaystyle \frac{P(V)P(E\mathrm{\mid }V)}{P(E)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,009}}{\mathrm{0,014}}}={\displaystyle \frac{9}{14}}\approx \mathrm{0,6429}$

La probabilidad de que un enfermo esté vacunado es ${\displaystyle \frac{9}{14}}\approx \mathrm{0,6429}$, es decir, un $\mathrm{64,29}\mathrm{\%}$. Que la mayoría de los enfermos esté vacunada no contradice la eficacia de la vacuna: los vacunados son nueve de cada diez, y enferman cinco veces menos.