Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados el plano $\pi \equiv \{\begin{array}{l}x=-1+\mu \\ y=1+\lambda +a\mu \\ z=1+2\lambda -\mu \end{array}$ y la recta $s\equiv \{\begin{array}{l}x-2y=1-b\\ z=-3\end{array}$.

a) [1,5 puntos] Calcule razonadamente el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi$.

b) [1 punto] Si $a=0$ y $b=3$, calcule razonadamente la ecuación en forma implícita de la recta $r$ que pasa por el punto $P(1,-1,-8)$, es paralela al plano $\pi$ y perpendicular a la recta $s$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{contenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$











Una recta está contenida en un plano cuando se cumplen dos condiciones: que su vector director sea perpendicular al vector normal del plano y que uno de sus puntos pertenezca al plano.

Del plano, que viene en paramétricas, leemos el punto y los dos vectores directores.

$P(-1,1,1),\vec{u}=(0,1,2),\vec{v}=(1,a,-1)$





De la recta, dada como intersección de dos planos, obtenemos el vector director despejando: con $y=\lambda$ resulta $x=1-b+2\lambda$ y $z=-3$, de modo que

$Q(1-b,0,-3),{\vec{v}}_s=(2,1,0)$

i) Imponemos que ${\vec{v}}_s$ sea perpendicular a ${\vec{n}}_{\pi }=\vec{u}\times \vec{v}$. Equivale a decir que los tres vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y ${\vec{v}}_s$ son coplanarios, es decir, que su producto mixto se anula.

$\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& a& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\mid =0-2+2-4a-0-0=-4a$

$-4a=0\Rightarrow a=0$

Con $a=0$ el vector normal del plano es

${\vec{n}}_{\pi }=\vec{u}\times \vec{v}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& -1\end{array}\mid =(-1,2,-1)$

y su ecuación general, imponiendo que pase por $P(-1,1,1)$:

$-(x+1)+2(y-1)-(z-1)=0\Rightarrow \pi :x-2y+z+2=0$

ii) Imponemos ahora que el punto $Q(1-b,0,-3)$ pertenezca al plano.

$(1-b)-0+(-3)+2=0\Rightarrow -b=0\Rightarrow b=0$

La recta $s$ está contenida en el plano $\pi$ para $a=0$ y $b=0$.



Las dos condiciones fijan la dirección de $r$: ser paralela a $\pi$ obliga a que su vector director sea perpendicular a ${\vec{n}}_{\pi }$, y ser perpendicular a $s$, a que lo sea a ${\vec{v}}_s$. Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial.

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_{\pi }\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\mid =(-1,2,5)$

Con el punto $P(1,-1,-8)$ escribimos las paramétricas:

$r:\{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\ y=-1+2\lambda \\ z=-8+5\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$

Eliminamos el parámetro. De la primera ecuación, $\lambda =1-x$; lo sustituimos en las otras dos:

$y=-1+2(1-x)=1-2x\Rightarrow 2x+y=1$

$z=-8+5(1-x)=-3-5x\Rightarrow 5x+z=-3$

La ecuación implícita de la recta pedida es

$r:\{\begin{array}{l}2x+y=1\\ 5x+z=-3\end{array}$