Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Sea el punto $A=(1,0,1)$ y el plano $\pi \equiv x+y+z=8$.

a) [1,5 puntos] Calcule la recta perpendicular a $\pi$ y que pasa por $A$. ¿En qué punto se cortan la recta y el plano?

b) [1 punto] Obtenga el punto de la recta anterior distinto de $A$ que dista de $\pi$ igual que $A$, es decir, el punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano?}}$











Si la recta es perpendicular al plano, su vector director es el vector normal del plano, que se lee en los coeficientes de su ecuación.

${\vec{v}}_r={\vec{n}}_{\pi }=(1,1,1)$

$r:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=\lambda \\ z=1+\lambda \end{array},\lambda \in \mathbb{R}$





Para el punto de corte sustituimos las paramétricas de la recta en la ecuación del plano.

$(1+\lambda )+\lambda +(1+\lambda )=8\Rightarrow 2+3\lambda =8\Rightarrow \lambda =2$

Llevamos ese valor a las ecuaciones de la recta:

$R(1+2,2,1+2)=R(3,2,3)$

La recta perpendicular a $\pi$ por $A$ es $r:x-1=y=z-1$, y corta al plano en el punto $R(3,2,3)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{distinto}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dista}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{decir,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}$

Basta razonar que $R$, el pie de la perpendicular, es el punto medio del segmento $\overline{A{A}^{\mathrm{\prime }}}$.

$R=({\displaystyle \frac{1+A_x^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{0+A_y^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+A_z^{\mathrm{\prime }}}{2}})=(3,2,3)$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1+A_x^{\mathrm{\prime }}}{2}}=3\Rightarrow A_x^{\mathrm{\prime }}=5\\ {\displaystyle \frac{A_y^{\mathrm{\prime }}}{2}}=2\Rightarrow A_y^{\mathrm{\prime }}=4\\ {\displaystyle \frac{1+A_z^{\mathrm{\prime }}}{2}}=3\Rightarrow A_z^{\mathrm{\prime }}=5\end{array}$

El punto simétrico de $A$ respecto del plano es $A^{\mathrm{\prime }}(5,4,5)$. Se comprueba que está en la recta, para $\lambda =4$, y que dista del plano lo mismo que $A$:

$d(A,\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+0+1-8\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}},d(A^{\mathrm{\prime }},\pi )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }5+4+5-8\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}$