Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

a) [1,25 puntos] Sea el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x+1}{1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z-1}{-1}}$. Calcule razonadamente la distancia del punto $P$ a la recta $r$.

b) [1,25 puntos] Sean las rectas $s\equiv \{\begin{array}{l}x=0+2\lambda \\ y=1-2\cdot a\cdot \lambda \\ z=0+2\lambda \end{array}$ y $t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{a}}={\displaystyle \frac{y+1}{-1}}={\displaystyle \frac{z-2}{1}}$. Calcule razonadamente el valor de $a\in \mathbb{R}$ para que las dos rectas sean paralelas.

Leemos en la ecuación continua un punto y un vector director de la recta.

$Q(-1,0,1),{\vec{v}}_r=(1,1,-1)$

La distancia de un punto a una recta es la altura del paralelogramo que determinan $\overrightarrow{QP}$ y ${\vec{v}}_r$, es decir, su área dividida entre la base.

$d(P,r)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{QP}\times {\vec{v}}_r\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid }}$





$\overrightarrow{QP}=(1,0,1)-(-1,0,1)=(2,0,0)$

$\overrightarrow{QP}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 0& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\mid =(0,2,2)$

$\mid \overrightarrow{QP}\times {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{0+4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}$

$d(P,r)={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}\approx \mathrm{1,6330}$

La distancia del punto $P$ a la recta $r$ es ${\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}\approx \mathrm{1,6330}$ unidades de longitud.



Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales, así que empezamos por leerlos.

${\vec{v}}_s=(2,-2a,2),{\vec{v}}_t=(a,-1,1)$

Imponemos la proporcionalidad de las tres coordenadas.

${\displaystyle \frac{2}{a}}={\displaystyle \frac{-2a}{-1}}={\displaystyle \frac{2}{1}}$

De la primera y la tercera razón, $\frac{2}{a}=2\Rightarrow a=1$. De la segunda y la tercera, $2a=2\Rightarrow a=1$. Las dos condiciones coinciden.

$a=1\Rightarrow {\vec{v}}_s=(2,-2,2)=2(1,-1,1)=2{\vec{v}}_t$

Falta comprobar que no son la misma recta. El punto $(0,1,0)$ de $s$ no pertenece a $t$, ya que

${\displaystyle \frac{0-1}{1}}=-1\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1+1}{-1}}=-2$

Las dos rectas son paralelas y distintas para $a=1$.