Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Sean los planos ${\pi }_1\equiv a\cdot x+y+2\cdot z=3$ y ${\pi }_2\equiv 2\cdot x-y+a\cdot z=0$.

a) [1 punto] Determine razonadamente el valor de $a$ para que los planos ${\pi }_1$ y ${\pi }_2$ sean perpendiculares.

b) [1,5 puntos] Para $a=1$ calcule la distancia del punto $P(2,0,1)$ al plano ${\pi }_1$.

Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar se anula. Los leemos en los coeficientes de las ecuaciones.

${\vec{n}}_1=(a,1,2),{\vec{n}}_2=(2,-1,a)$

${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=2a-1+2a=4a-1$





$4a-1=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Los dos planos son perpendiculares para $a={\displaystyle \frac{1}{4}}$.



Para $a=1$ el plano es ${\pi }_1:x+y+2z=3$, que escribimos en forma general.

${\pi }_1:x+y+2z-3=0$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(P,{\pi }_1)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\mathrm{\mid }}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2+0+2\cdot 1-3\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}}$

$d(P,{\pi }_1)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}}$

Racionalizamos el denominador:

$d(P,{\pi }_1)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\approx \mathrm{0,4082}$

La distancia del punto $P$ al plano ${\pi }_1$ es ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{6}}\approx \mathrm{0,4082}$ unidades de longitud.