Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

a) En un determinado I.E.S. la probabilidad de que un alumno apruebe si va a clase es del 80 % mientras que si no va a clase es del 50 %. El 90 % de los alumnos va a clase.

a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?

a.2) [0,75 puntos] Si un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a clase?

b) Una empresa embotelladora de agua produce botellas de 150 ml. La cantidad que realmente contienen sigue una distribución normal con media 150 ml y desviación típica 5 ml.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué proporción de las botellas contiene más de 152 ml?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué proporción de botellas tiene entre 149 y 152 ml?

Nombramos los sucesos del apartado a): $C$, el alumno va a clase, y $A$, el alumno aprueba. El árbol del experimento es:



$\mathbf{\text{a.1)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{apruebe?}}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que acaban en aprobado.

$P(A)=P(C)\cdot P(A\mid C)+P(\bar{C})\cdot P(A\mid \bar{C})$

$P(A)=\mathrm{0,90}\cdot \mathrm{0,80}+\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,50}=\mathrm{0,72}+\mathrm{0,05}=\mathrm{0,77}$

La probabilidad de que un alumno apruebe es $\mathrm{0,77}$, es decir, un $77\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{a.2)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{suspendido,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{ido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{clase?}}$

Suspender es el suceso contrario de aprobar, así que su probabilidad sale de la anterior.

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\mathrm{0,77}=\mathrm{0,23}$

Ahora invertimos el condicionamiento con el teorema de Bayes.

$P(\bar{C}\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{P(\bar{C})\cdot P(\bar{A}\mid \bar{C})}{P(\bar{A})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,50}}{\mathrm{0,23}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,23}}}$

$P(\bar{C}\mid \bar{A})={\displaystyle \frac{5}{23}}\approx \mathrm{0,2174}$

Si un alumno ha suspendido, la probabilidad de que no haya ido a clase es ${\displaystyle \frac{5}{23}}\approx \mathrm{0,2174}$: más del doble del $10\mathrm{\%}$ de partida.

Llamamos $X$ al contenido, en mililitros, de una botella. Según el enunciado

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(150,5)$

$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{botellas}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{152}}\mathbf{\text{ml?}}$

Tipificamos para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-150}{5}}\sim N(0,1)$

$P(X>152)=P(Z>{\displaystyle \frac{152-150}{5}})=P(Z>\mathrm{0,4})$

$P(Z>\mathrm{0,4})=1-P(Z<\mathrm{0,4})=1-\mathrm{0,6554}=\mathrm{0,3446}$



Contiene más de $152\text{ ml}$ el $\mathrm{34,46}\mathrm{\%}$ de las botellas.

$\mathbf{\text{b.2)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{botellas}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{149}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{152}}\mathbf{\text{ml?}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo y restamos las áreas acumuladas.

$P(149<X<152)=P({\displaystyle \frac{149-150}{5}}<Z<{\displaystyle \frac{152-150}{5}})=P(-\mathrm{0,2}<Z<\mathrm{0,4})$

$P(-\mathrm{0,2}<Z<\mathrm{0,4})=P(Z<\mathrm{0,4})-P(Z<-\mathrm{0,2})$

Para la cola negativa usamos la simetría de la campana:

$P(Z<-\mathrm{0,2})=1-P(Z<\mathrm{0,2})=1-\mathrm{0,5793}=\mathrm{0,4207}$

$P(-\mathrm{0,2}<Z<\mathrm{0,4})=\mathrm{0,6554}-\mathrm{0,4207}=\mathrm{0,2347}$



Tiene entre $149$ y $152\text{ ml}$ el $\mathrm{23,47}\mathrm{\%}$ de las botellas.