Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\{\begin{array}{l}x+y-z=2\\ 4x+2y=a\\ ax+y+z=1\end{array}$

a) [1,5 puntos] Discuta la resolución del sistema según los valores que pueda tomar el parámetro $a\in \mathbb{R}$ e indique el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Para $a=0$, resuelva el sistema de ecuaciones, de forma razonada.

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 4& 2& 0\\ a& 1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 2\\ 4& 2& 0& a\\ a& 1& 1& 1\end{array}\right)$

Estudiamos el rango de $A$ mediante su determinante, desarrollado por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}4& 0\\ a& 1\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}4& 2\\ a& 1\end{array}\mid =2-4-(4-2a)=2a-6$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=3$

• Si $a\mathrm{\ne }3$, entonces $\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3$, que coincide con el número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y tiene una única solución.

• Si $a=3$, el menor

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 2\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlamos con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 4& 2& 3\\ 3& 1& 1\end{array}\mid =2+9+8-12-3-4=0$

$\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 4& 0& 3\\ 3& 1& 1\end{array}\mid =0-9+8-0-3+4=0$

Los menores de orden tres de la ampliada son todos nulos, luego $\mathrm{ran}(A^{\ast })=2$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: tiene infinitas soluciones, que dependen de un parámetro.



Con $a=0$ estamos en el caso compatible determinado y el sistema queda

$\{\begin{array}{l}x+y-z=2\\ 4x+2y=0\\ y+z=1\end{array}$

De la segunda ecuación se despeja $y$ y de la tercera $z$, ambas en función de $x$.

$4x+2y=0\Rightarrow y=-2x$

$y+z=1\Rightarrow z=1-y=1+2x$

Sustituimos las dos en la primera ecuación, que ya solo tiene una incógnita.

$x+(-2x)-(1+2x)=2\Rightarrow -3x-1=2\Rightarrow x=-1$

$y=-2(-1)=2,z=1+2(-1)=-1$

La solución única para $a=0$ es $x=-1$, $y=2$, $z=-1$.